ｙ＝ (1ーｘ) log (1ーｘ) は，つぎの３つの関数を順に合成したもの：
ｘ├─→ ｘー１
ｘ├─→ ーｘ
ｘ├─→ ｘ log x
よって，ｙ＝ (1ーｘ) log (1ーｘ) のグラフは，ｙ＝ｘ log x のグラフを ｙ軸で折返し，そしてｘ軸の正方向に１ずらしたもの：
こうして，つぎが ｙ＝ｘ log x ＋ (1ーｘ) log (1ーｘ) のグラフになる：
グラフの傾きの変化も，押さえておくとしよう。
\[
\begin{align}
\frac{ dy }{ dx }
&= \frac{ d }{ dx }\ ( x\ log\ x + ( 1 - x )\ log\ ( 1 - x ) ) \\
&= log\ x + x \frac{ 1 }{ x } + (-1)\ log\ ( 1 - x ) ) + ( 1 - x ) \frac{ - 1 }{ 1 - x } \\
&= log\ x +1 - log\ ( 1 - x ) - 1 \\
&= \ log\ x - log\ ( 1 - x ) \\ \\
&=
\begin{cases}
log\ \frac{ x }{ 1 - x } \ \ \rightarrow + \infty \ \ ( x \rightarrow 1 ) \\
- log\ \frac{ 1 - x }{ x } \ \ \rightarrow - \infty \ \ ( x \rightarrow 0 )
\end{cases}
\end{align}
\]
|